Question

Cho (c) ( x-3)²+(y-1)²=4 , A(4,5). Đường thẳng d đi qua A , cắt (c) tại 2 điểm M,N . Tính AM.AN

Answer 1

Ta có: \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

=>Tâm là I(3;1) và bán kính là \(R=\sqrt4=2\)

Qua A, kẻ AD là tiếp tuyến tại D của (C)

=>DA⊥ DI tại D

I(3;1); A(4;5)

\(IA=\sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(5-1\right)^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\)

ΔIDA vuông tại D

=>\(DI^2+DA^2=IA^2\)

=>\(DA^2=IA^2-ID^2=17-4=13\)

Xét (I) có

\(\hat{ADM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DA và dây cung DM

\(\hat{DNM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM

Do đó: \(\hat{ADM}=\hat{DNM}\)

Xét ΔADM và ΔAND có

\(\hat{ADM}=\hat{AND}\)

góc DAM chung

Do đó: ΔADM~ΔAND

=>\(\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AD}\)

=>\(AM\cdot AN=AD^2=13\)