Question

Cho biểu thức  M = x 2 + x + 1 x + 1 2  với x ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.  M ≥ 3 4

B.  M ≥ 5 4

C.  M ≥ 3

D.  M ≤ 3 4

Answer 1

Ta có:  M = x 2 + x + 1 x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 x + 1 2 - x x + 1 2 = 1 - x x 2 + 2 x + 1   (1)

Với mọi x, 

x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x 2 + 1 ≥ 2 x ⇒ x 2 + 2 x + 1 ≥ 4 x ⇒ x x 2 + 2 x + 1 ≤ x 4 x = 1 4       ( 2 )  

Từ (1) và (2) suy ra:   M ≥ 1 - 1 4 = 3 4

Dấu “=” xảy ra khi x = 1