Question

Cho ba điểm J,I,J' cũng nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. IJ=10; IJ'=4. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O') đường kính IJ".

a) Chứng minh (O) và (O') tiếp xúc ngoài ở I

b) Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), AI cắt (O') tại A'. Chứng minh: tam giác AIJ đồng dạng với tam giác A'IJ'

c) Qua I kẻ 1 cát tuyến cắt (O) ở B (B và A thuộc nửa mặt phẳng bờ IJ), cắt (O') ở B'. Chứng minh: tam giác IA'B' đồng dạng với tam giác IAB

d) Chứng minh: tam giác OAB đồng dạng với tam giác OA'B'

e) Tứ giác ABA'B' là hình gì? Vì sao?

 

Answer 1

Trong "Principia Mathematica" của Bertrand Russell và Alfred North Whitehead, việc chứng minh 1 + 1 = 2 mất khoảng 362 trang. Đây là một phần của nỗ lực xây dựng toán học dựa trên logic hình thức. Chứng minh này phản ánh sự phức tạp của các định nghĩa và tiên đề trong lý thuyết tập hợp và số học. Nếu bạn cần thêm thông tin về nội dung cụ thể, hãy cho tôi biết! Chứng minh 1 + 1 = 2 trong "Principia Mathematica" được xem là khó khăn vì nó yêu cầu hiểu biết sâu sắc về logic hình thức và các định nghĩa phức tạp. Mặc dù kết quả cuối cùng có vẻ đơn giản, quá trình chứng minh đòi hỏi nhiều bước logic và khái niệm toán học. Nếu bạn không quen với lý thuyết này, nó có thể khá trừu tượng và khó tiếp cận.

Answer 2

a) Chứng minh (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại điểm I

Ta có đường tròn $(O)$ có đường kính là $IJ$, nên tâm $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $IJ$, do đó:

$$O=\text{Trung điểm của }IJ.$$

Tương tự, đường tròn (O′)(O')(O′) có đường kính là IJ′IJ'IJ′, nên tâm O′O'O′ là trung điểm của đoạn thẳng IJ′IJ'IJ′, do đó:

O′=Trung điểm của IJ′.O' = \text{Trung điểm của } IJ'.O′=Trung điểm của IJ′.

Vì các đường tròn $(O)$ và (O′)(O')(O′) có đường kính là $IJ$ và IJ′IJ'IJ′, bán kính của $(O)$ là:

RO=IJ2=102=5.R_O = \frac{IJ}{2} = \frac{10}{2} = 5.RO​=2IJ​=210​=5.

Bán kính của (O′)(O')(O′) là:

RO′=IJ′2=42=2.R_{O'} = \frac{IJ'}{2} = \frac{4}{2} = 2.RO′​=2IJ′​=24​=2.

Ta xét khoảng cách giữa hai tâm $O$ và O′O'O′. Vì $O$ và O′O'O′ là trung điểm của $IJ$ và IJ′IJ'IJ′, nên:

OO′=OI−IO′=IJ2−IJ′2=5−2=3.OO' = OI - IO' = \frac{IJ}{2} - \frac{IJ'}{2} = 5 - 2 = 3.OO′=OI−IO′=2IJ​−2IJ′​=5−2=3.

Tổng bán kính của hai đường tròn $(O)$ và (O′)(O')(O′) là:

RO+RO′=5+2=7.R_O + R_{O'} = 5 + 2 = 7.RO​+RO′​=5+2=7.

Khoảng cách giữa hai tâm OO′=3OO' = 3OO′=3, bằng hiệu của hai bán kính RO−RO′=5−2=3R_O - R_{O'} = 5 - 2 = 3RO​−RO′​=5−2=3. Điều này chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại điểm $I$.

b) Chứng minh tam giác $AIJ$ đồng dạng với tam giác A′IJ′A'IJ'A′IJ′

Ta có $A$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$, nên ∠AIJ=90∘\angle A IJ = 90^\circ∠AIJ=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

A′A'A′ là điểm thuộc đường tròn (O′)(O')(O′), nên ∠A′IJ′=90∘\angle A' IJ' = 90^\circ∠A′IJ′=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác $AIJ$ và tam giác A′IJ′A'IJ'A′IJ′:

∠AIJ=∠A′IJ′=90∘\angle AIJ = \angle A'IJ' = 90^\circ∠AIJ=∠A′IJ′=90∘ (cùng là góc vuông). ∠IAJ=∠IA′J′\angle IAJ = \angle IA'J'∠IAJ=∠IA′J′ (góc $I$ là góc chung giữa hai tam giác).

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), hai tam giác $AIJ$ và A′IJ′A'IJ'A′IJ′ đồng dạng:

ΔAIJ∼ΔA′IJ′.\Delta AIJ \sim \Delta A'IJ'.ΔAIJ∼ΔA′IJ′. c) Chứng minh tam giác IA′B′IA'B'IA′B′ đồng dạng với tam giác $IAB$

Xét cát tuyến qua điểm $I$ cắt đường tròn $(O)$ tại $B$ và cắt đường tròn (O′)(O')(O′) tại B′B'B′.

Do các đường tròn $(O)$ và (O′)(O')(O′) có đường kính là $IJ$ và IJ′IJ'IJ′, tương tự như phần b, ta có các góc vuông tại A,B,A′,B′A, B, A', B'A,B,A′,B′:

∠AIB=∠A′IB′=90∘.\angle AIB = \angle A'IB' = 90^\circ.∠AIB=∠A′IB′=90∘.

Xét tam giác IA′B′IA'B'IA′B′ và tam giác $IAB$:

∠A′IB′=∠AIB=90∘\angle A'IB' = \angle AIB = 90^\circ∠A′IB′=∠AIB=90∘ (cùng là góc vuông). ∠A′B′I=∠ABI\angle A'B'I = \angle ABI∠A′B′I=∠ABI (cùng chắn cung $IA$ và IA′IA'IA′).

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:

ΔIA′B′∼ΔIAB.\Delta IA'B' \sim \Delta IAB.ΔIA′B′∼ΔIAB.

d) Chứng minh tam giác $OAB$ đồng dạng với tam giác OA′B′OA'B'OA′B′ Ta có đường tròn $(O)$ với tâm $O$ và đường tròn (O′)(O')(O′) với tâm O′O'O′. Từ phần c, ta đã chứng minh được tam giác IA′B′IA'B'IA′B′ và tam giác $IAB$ đồng dạng. Xét tam giác $OAB$ và tam giác OA′B′OA'B'OA′B′: ∠OAB=∠OA′B′\angle OAB = \angle OA'B'∠OAB=∠OA′B′ (cùng chắn cung $AB$). ∠OBA=∠O′B′A′\angle OBA = \angle O'B'A'∠OBA=∠O′B′A′ (góc đối đỉnh).

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:

ΔOAB∼ΔOA′B′.\Delta OAB \sim \Delta OA'B'.ΔOAB∼ΔOA′B′.

e) Tứ giác ABA′B′ABA'B'ABA′B′ là hình thang cân

Từ phần c và d, ta đã chứng minh được rằng các cặp tam giác IA′B′∼IABIA'B' \sim IABIA′B′∼IAB và OAB∼OA′B′OAB \sim OA'B'OAB∼OA′B′, điều này chứng tỏ rằng hai cạnh $AB$ và A′B′A'B'A′B′ song song.

Do đó, tứ giác ABA′B′ABA'B'ABA′B′ có hai cạnh đối song song là AB∥A′B′AB \parallel A'B'AB∥A′B′, nên tứ giác này là hình thang.

Hơn nữa, vì tam giác IA′B′∼IABIA'B' \sim IABIA′B′∼IAB và các cặp góc tương ứng bằng nhau, nên tứ giác ABA′B′ABA'B'ABA′B′ có hai cạnh bên bằng nhau, tức là:

AB=A′B′.AB = A'B'.AB=A′B′.

Do đó, tứ giác ABA′B′ABA'B'ABA′B′ là hình thang cân.

Answer 3

nó ko liên quan đến câu hỏi này