Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Tia MH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh: OA là phân giác góc MON và AN là tiếp tuyến của (O).
b) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ MN sao cho EM < EN. Đường thẳng AE cắt đường tròn tại điểm F (F không trùng với E). Gọi I là trung điểm EF, K là giao điểm của EF với MN.
Chứng minh: AK.AI = AE.AF
c) Đường thẳng qua E song song với AN cắt MN tại P, FP cắt AN tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của AN.
a: ΔOMN cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc MON
=>OA là phân giác của góc MON
Xét ΔOMA và ΔONA có
OM=ON
\(\hat{MOA}=\hat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔOMA=ΔONA
=>\(\hat{OMA}=\hat{ONA}\)
=>\(\hat{ONA}=90^0\)
=>AN là tiếp tuyến của (O)
b: Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có
\(\hat{HAK}\) chung
Do đó: ΔAHK~ΔAIO
=>\(\frac{AH}{AI}=\frac{AK}{AO}\)
=>\(AK\cdot AI=AH\cdot AO\left(1\right)\)
Xét ΔOAM vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{AME}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung ME
\(\hat{MFE}\) là góc nội tiếp chắn cung ME
Do đó: \(\hat{AME}=\hat{MFE}\)
Xét ΔAME và ΔAFM có
\(\hat{AME}=\hat{AFM}\)
góc MAE chung
Do đó: ΔAME~ΔAFM
=>\(\frac{AM}{AF}=\frac{AE}{AM}\)
=>\(AM^2=AE\cdot AF\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(AK\cdot AI=AE\cdot AF\)
