\(B=5+5^2+5^3+...+5^{2021}\)
\(5B=5^2+5^3+5^4+...+5^{2022}\)
\(5B-B=\left(5^2+5^3+...+5^{2022}\right)-\left(5+5^2+5^3+...+5^{2021}\right)\)
\(4B=5^{2022}-5\)
\(B=\frac{5^{2022}-5}{4}\)
\(B+8=\frac{5^{2022}-5}{4}+8=\frac{5^{2022}+27}{4}\)
Nếu \(B+8=n^2\left(n\inℕ^∗\right)\Rightarrow5^{2022}+27=4n^2=\left(2n\right)^2\)là bình phương một số tự nhiên.
Mà ta có: \(5^{2022}< 5^{2022}+27< 5^{2022}+2.5^{1011}+1=\left(5^{2022}+1\right)^2\)
Do đó \(5^{2022}+27\)không là bình phương một số tự nhiên.
Suy ra đpcm.
b) B= 5 + 52 +53 +...+ 52021
B có 2021 số hạng. Mỗi số hạng đều có tận cùng là 5( do lũy thừa cơ số 5 cos chữ số tận cùng là 5) nên B có chữ số tận cùng là 5. Vậy B+8 có chữ số tận cùng là 3
Mà bình phương của 1 số tự nhiên phải có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9.
