Question

Cho \(a\ne\pm b\)và \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

Chứng minh rằng a + b + c = 0

Answer 1

\(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+ac\right)-\left(a+b\right)\left(b^2+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-b^2+ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\)hoặc \(a-b=0\)hoặc \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)(Không thỏa điều kiện) hoặc a=-b (Không thỏa điều kiện) hoặc a+b+c=0

<=> a+b+c=0 (đpcm)