Question

Cho a,b,c∈Z biết \(a+b+c⋮12\)

CMR: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc⋮12\)

Answer 1

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc\\ =\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(c+a\right)-5abc\\ =ab\left(a+b\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc+ac\left(c+a\right)+abc-abc-5abc\\ =ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-6abc\\ =\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-6abc\)

Vì \(a+b+c⋮12\) nên \(a+b+c\) chẵn

Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 3 số a,b,c chẵn

\(\Rightarrow6abc⋮6\cdot2=12\)

Mà \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮12\left(a+b+c⋮12\right)\)

Vậy ta được đpcm