Question

cho △ABC,trung tuyến AM.Trên cạch AC lấy điểm E,F sao cho AE=EF=FC,BE cắt AM tại O

a) chứng minh tứ giác OEFM là hình thang,vì sao?

b) chứng minh BO=3OE

Answer 1

a) Xét ΔBEC có

M là trung điểm của BC(gt)

F là trung điểm của EC(gt)

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBEC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MF//BE và \(MF=\dfrac{BE}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay MF//OE

Xét tứ giác OEFM có MF//OE(cmt)

nên OEFM là hình thang(Dấu hiệu nhận biết hình thang)

b) Xét ΔAMF có 

E là trung điểm của AF(gt)

EO//MF(cmt)

Do đó: O là trung điểm của AM(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔAMF có 

O là trung điểm của AM(cmt)

E là trung điểm của AF(gt)

Do đó: OE là đường trung bình của ΔAMF(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: \(OE=\dfrac{MF}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

\(\Leftrightarrow MF=2OE\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{2}=2\cdot OE\)

hay BE=4OE

\(\Leftrightarrow BO=BE-OE=4OE-OE=3OE\)(đpcm)