Question

Cho a,b,c>o.CMR:

\(\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ac}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{c^2+ab}{2c^2+a^2+b^2}\ge0\)

Thầy mình bảo cách làm:

nhân 2-lấy 1 trừ đi-dùng BĐT cộng mẫu số-đổi dấu

 

Answer 1

nhầm

phân thức cuối là:\(\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2}\)

giúp mình nha

Answer 2

Làm như thầy bạn bảo nhé!

BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2a^2-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge0\) (nhân 2 vào 2 vế) (*)

\(VT_{\text{(*)}}=\Sigma_{cyc}\left(1-\frac{b^2+c^2+2bc}{2a^2+b^2+c^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\)

\(\ge3-\Sigma_{cyc}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=0\)

Answer 3

Cách khác (tương tự thôi, trình bày khác xíu)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(b-c\right)^2\left(bc-a^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)\left(2a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Check hộ cái nha! Khi tính toán có thể sai.

Answer 4

Tại sao:\(3-sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}^{ }\right)=0\)hả bạn?

Answer 5

Vì:

\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}=3\)

Answer 6

ok cảm ơn bạn