Question

Cho \(a;b;c\ge0\)thỏa mãn a + b + c = 2

Tìm GTNN của \(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1\right)\)

Từ giả thuyết suy ra \(0\le a,b,c\le2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab\ge0\\bc\ge0\\ca\ge0\end{cases}\left(2\right)}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le2a\\b^2\le2b\\c^2\le2c\end{cases}\left(3\right)}\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)suy ra:

\(P\ge\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{4}=\frac{8+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\)

Answer 2

tui đăng nhầm nhe đang làm nháp lở đăng