Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoang Tran

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng\(\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le1\)

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 7 2021 lúc 16:23

Đặt vế trái là P:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)

Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:

\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)

\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Trên con đường thành côn...
27 tháng 7 2021 lúc 16:21

Bạn tham khảo ở đây nhé.

https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html


Các câu hỏi tương tự
Khương Vũ Phương Anh
Xem chi tiết
Hoàng Anh Thắng
Xem chi tiết
๖²⁴ʱ乂ų✌й๏✌ρɾ๏༉
Xem chi tiết
๖²⁴ʱ乂ų✌й๏✌ρɾ๏༉
Xem chi tiết
Elki Syrah
Xem chi tiết
Tăng Ngọc Đạt
Xem chi tiết
hello7156
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Huyền Diệp
Xem chi tiết