Question

cho a,b,c>0 thỏa x²+y²+z²=1.tìm gtnn của P=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)

Answer 1

\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)