Câu hỏi của Phạm Quang Nhật

Question

Cho a,b,c>0. Chứng minh:  $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Nhok_baobinh · Accepted Answer

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta cò thể giả sử: $a\ge b\ge c>0$Ta có:$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}$CMTT: $\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)-ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}$             $\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{-bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$Đặt $A=\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$$\Rightarrow A=\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]$+ $\left[\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]$+       $\left[\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]$$\Rightarrow A=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]^{\left(1\right)}$+ ... Do $a\ge b\ge c>0\Rightarrow\left(1\right)>0.$CMTT $\Rightarrow A>0.\Rightarrowđpcm$(Mình làm hơi tắt, mong bạn thông cảm. Cho 1 k nha.)​​Câu trả lời: Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta cò thể giả sử: $a\ge b\ge c>0$Ta có:$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}$CMTT: $\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)-ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}$             $\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{-bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$Đặt $A=\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$$\Rightarrow A=\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]$+ $\left[\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]$+       $\left[\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]$$\Rightarrow A=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]^{\left(1\right)}$+ ... Do $a\ge b\ge c>0\Rightarrow\left(1\right)>0.$CMTT $\Rightarrow A>0.\Rightarrowđpcm$(Mình làm hơi tắt, mong bạn thông cảm. Cho 1 k nha.)​​

Phạm Quang Nhật · Answer

Tại sao (1) lại >0 hả bạn? Với lại đề mình cho đâu có đk a>=b>=c>0 đâu!Câu trả lời: Tại sao (1) lại >0 hả bạn? Với lại đề mình cho đâu có đk a>=b>=c>0 đâu!

Nhok_baobinh · Answer

Đề bài cho a,b,c>0.Do chúng có vai trò như nhau nên mình giả sử như trên.Do $a\ge b>0\Rightarrow ab;\left(a-b\right)>0$Lại có $a\ge b\ge c>0\Rightarrow a+c>b+c;a^2+c^2>b^2+c^2$$\Rightarrow\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)>\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)$$\Rightarrow\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}< \frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}$$\Rightarrow\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}>0$$\Rightarrow\left(1\right)>0$Câu trả lời: Đề bài cho a,b,c>0.Do chúng có vai trò như nhau nên mình giả sử như trên.Do $a\ge b>0\Rightarrow ab;\left(a-b\right)>0$Lại có $a\ge b\ge c>0\Rightarrow a+c>b+c;a^2+c^2>b^2+c^2$$\Rightarrow\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)>\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)$$\Rightarrow\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}< \frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}$$\Rightarrow\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}>0$$\Rightarrow\left(1\right)>0$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)