Question

cho ▲ABC vuông ở A, đường cao AH. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. AK vuông góc với EF cắt BC ở I.

a, CM: I là trung điểm BC.

b, nếu S▲_abc=2. SAFHE thì ▲ABC là tam giác vuông cân.

Answer 1

(bn tự vẽ hình)Gọi AH giao EFtại M ,     AI  giao EF tại N

a) xét tứ giác AEHF có: A=E=F=90^o(góc)→AEHF là HCN→AM=EM=MH=MF

Ta có: ΔAHF~ΔACH(g.g)→AHF=ACH(góc) mà AHF =HAE (góc)(vì SLT do AE//HF)→ACH=HAE(góc)

Mà MA=ME(cmt)→ΔAME cân ở M→HAE=FEA(góc)  do đó ACH=FEA(góc)

lại có BHE=ACH(góc)(đồng vị )→BHE=FEA(góc)

mặt khác:NAE=90^o-FEA(ΔAEN vuông ở N) , B = 90^o-BHE(ΔBHE vuông ở E )

→NAE=B(góc)→ΔAIB cân ở I → IB=IA

tương tự ta có :IA=IC

vậy IB=IC→I là trung điểm của BC

b) ta có : s_ABC=2s_AEHF→S_ABC=4S_AEF→\(\frac{SAEF}{SABC}=\frac{1}{4}\)mà ΔAEF~ΔACB(cmt)→\(\left(\frac{AF}{AB}\right)^2=\frac{1}{4}\)→\(\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}\)

→\(\frac{HE}{AB}=\frac{1}{2}\)(AF=HE)

→ΔAHB vuông ở H có đương cao HE=1/2 cạnh huyền→HE là đường trung tuyến của AB →ΔAHB vuông cân ở H→B=45^o(góc)

→C=45^o(góc) 

vậy ΔABC vuông cân ở A

(câu b lm bừa nhé)