Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Cho ∆ABC nhọn, đường tròn tâm O có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi H là giao điểm của BE và DC, K là giao điểm của AH và BC.

a) Tính số đo góc BDC và góc BEC.

b) Cm 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn. 

c) Gọi M là trung điểm HC. Cm IM ⊥ OM.

d) Cm tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O) cắt nhau tại I. 

Nguyễn Lê Phước Thịnh
29 tháng 11 2023 lúc 19:16

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔDCB vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D và \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EB tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

b:

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: Xét ΔABC có 

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>IM//AC

Xét ΔBHC có

M,O lần lượt là trung điểm của CH,CB

=>MO là đường trung bình của ΔBHC

=>OM//BH

OM//BH

BH\(\perp\)AC

Do đó: OM\(\perp\)AC

IM//AC

OM\(\perp\)AC

Do đó: IM\(\perp\)OM

d: ID=IH

=>ΔDIH cân tại I

=>\(\widehat{IDH}=\widehat{IHD}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{CBD}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{CBD}\)

OD=OC

=>ΔODC cân tại O

=>\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

=>\(\widehat{HDK}=\widehat{DCB}\)

\(\widehat{IDK}=\widehat{IDH}+\widehat{KDH}\)

\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>ID là tiếp tuyến của (O)(1)

Xét ΔIDO và ΔIEO có

ID=IE

DO=EO

IO chung

Do đó: ΔIDO=ΔIEO

=>\(\widehat{IDO}=\widehat{IEO}=90^0\)

=>IE là tiếp tuyến của (O)(2)

Từ (1),(2) suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại I(ĐPCM)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc hân
Xem chi tiết
Minh Tú Phạm
Xem chi tiết
Ánh Nhật
Xem chi tiết
Hòa liên quân mobile
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Quang vo cong
Xem chi tiết
Diệu Trần Thị Huyền
Xem chi tiết
Ngọc Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Hương
Xem chi tiết