Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\ge2\)  ta có: 

\(a^nb\left(a-b\right)+b^nc\left(b-c\right)+c^na\left(c-a\right)\ge0\)

Answer 1

*)Giả sử với \(n=2\) đặt \(\hept{\begin{cases}2x=b+c-a\\2y=a-b+c\\2z=a+b-c\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)

\(\Rightarrow a=y+z;b=x+z;c=x+y\)

BĐT cần chứng minh là \(xy^3+yz^3+xz^3-xyz\left(x+y+z\right)\ge0\)

Tự C/M cái này bằng AM-GM nhé

*)Giả sử đúng với n (tức là dạng t/q). KO mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

Khi đó ta có: \(b^nc(b-c)\ge-a^nb(a-b)-c^na(c-a)\)

\(\Rightarrow b^{n+1}c(b-c)\ge-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)\)

Nên \(a^{n+1}b(a-b)+b^{n+1}c(b-c)+c^{n+1}a(c-a)\)

\(\ge a^{n+1}b(a-b)-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)+c^{n+1}a(c-a)\)

\(=a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a)\ge0\) 

Theo nguyên lí quy nạp thì có ĐPCM