Ta chứng minh bất đẳng thức phụ
\(\frac{1}{8x^2+1}\ge\frac{2}{x+1}-1\)
\(\Leftrightarrow4x^3-4x^2+x\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2x-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge-1+\frac{2}{a+1}-1+\frac{2}{b+1}-1+\frac{2}{c+1}\)
\(=-3+2\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)=-3+4=1\)
Ta có: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\)
Xét BĐT \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{8a^2+1}\ge1\Leftrightarrow3-\Sigma_{cyc}\frac{1}{8a^2+1}\le2\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{8a^2}{8a^2+1}\le2\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{4a^2}{8a^2+1}\le2\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{4x^2}{8x^2+1}\le\frac{x}{x+1}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{x\left(2x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(8x^2+1\right)}\)(đúng với mọi x thực dương)
Áp dụng, ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\text{}\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\)
Mà \(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge1\Leftrightarrow\frac{8a^2}{8a^2+1}+\frac{8b^2}{8b^2+1}+\frac{8c^2}{8c^2+1}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{8a^2+1}+\frac{4b^2}{8b^2+1}+\frac{4c^2}{8c^2+1}\le1\)
Bây giờ ta dẽ chứng minh \(\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\frac{a}{a+1}\Leftrightarrow4a^3+4a^2\le8a^3+a\Leftrightarrow0\le4a^3-4a^2+a^2\)
\(\Leftrightarrow0\le4a^2-4a+1\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(2a-1\right)^2\) nên \(\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\frac{a}{a+1}\left(1\right)\)
Tương tự có: \(\hept{\begin{cases}\frac{4b^2}{8b^2+1}\le\frac{b}{b+1}\left(2\right)\\\frac{4c^2}{8c^2+1}\le\frac{c}{c+1}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế của (1)(2)(3) được \(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
3-VT=sigma 1/8a^2+1
sau đó tách 8a^2+1=4a^2+4a^2+1 rồi dùng cô si
