Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)  CMR:  \(5\left(a+b+c\right)\ge7+8abc\)

 

Answer 1

Theo giả thiết ta có:  \(a+b=c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Nên \(a+b+c=3\)

Từ giả thiết ta cũng có: \(ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow5\left(a+b+c\right)^2\ge7\left(a+b+c\right)\)\(+8\left(ab+bc+ca\right)\)

Để ý rằng: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Nên suy ra \(5\left(a+b+c\right)^2\ge7\left(a+b+c\right)\)\(+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Hay \(a+b+c\ge3\)

\(\Rightarrow5\left(a+b+c\right)\ge7+8abc\left(đpcm\right)\)

P/s chưa chắc :))