Question

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a²  + b² + c² +\(\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

 

Answer 1

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3

Answer 2

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3

Answer 3

Không mất tính tổng quát, giả sử b là số nằm giữa a và c, khi đó ta có c(a − b)(b − c) ≥ 0, tương đương

         \(a^2b+b^2c+c^2a\le b\left(a^2+ca+c^2\right)\)

Từ đó, kết hợp với bất đẳng thức AM − GM bộ ba số, ta có :

        \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab+bc+ca\right)\le b\left(a^2+ca+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

                                                                               \(\le\frac{\left(3b+a^2+ca+c^2+ab+bc+ca\right)^3}{3^4}\)

                                                                                \(=\frac{\left(\left(a+c\right)^2+3b+ab+bc\right)^2}{3^4}\)

                                                                                  \(=\frac{\left(\left(3-b\right)^2+3b+b\left(3-b\right)\right)^3}{3^4}\)

                                                                                    \(=9\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz thì :

                  \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)

Do đó, sử dụng các đánh giá trên, sau đó liên tục dùng Cauchy − Schwarz ta có :

  \(P\ge\frac{7}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{9}\)

  \(=\frac{41}{18}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2}{18\times3}\)

\(\ge\frac{41}{18}\times\frac{\left(a+b+c\right)^4}{3^2}+\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\right)^2}{18\times3}\)

\(=\frac{22}{81}\left(a+b+c\right)^4\)

\(=22\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 22.