Question

Cho a,b,c là các số thực dương không âm thỏa mãn a+b+c=1.CMR 

               ab/(c+1) +bc/(a+1) + ca/(b+1) </ 1/4

Answer 1

Ta có BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (tự c/m)

Áp dụng vào,ta có: \(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}\le\frac{ab}{4\left(c+a\right)}+\frac{ab}{4\left(c+b\right)}\) (Làm tắt,ráng hiểu)

Chứng minh tương tự và cộng theo vế:

\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)