Kiểm tra lại đề đê. Với [ a = 1/10, b = 1/3, c = 1/10 ] thì đề sai.
(Đề đây nhưng chắc số 3 ở ngoài căn nha, họ đánh nhầm)
Đề như trong ảnh chỉ có 1 giáo viên ra nên có lỗi cũng phải thôi. Có phản ví dụ thì khỏi bàn cãi :D
Dễ thôi :D
Bất đẳng thức tương đương với:
\(\frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}-\frac{1}{2a+b+\sqrt{8bc}}\le\frac{3}{2}\)
Sử dụng AM - GM:
\(\frac{1}{2a+b+\sqrt{8bc}}=\frac{1}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge\frac{2}{2a+b+b+2c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}=\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left[b^2+\left(a+c\right)^2\right]}\ge a+b+c\)
\(\rightarrow\frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\le\frac{8}{a+b+c+3}\)
Đặt \(a+b+c=t>0\)
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\frac{8}{t+3}-\frac{1}{t}\le\frac{3}{2}\)
Chả biết biến đổi trên có sai tí nào ko chớ dưới quy đồng lên thấy sai sai :(
Bỏ số 3 ra ngoài căn thì đề đúng nhé.
\(\frac{1}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\ge\frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2a+b+2\sqrt{2c.b}}+\frac{3}{2}\ge\frac{8}{\sqrt{\left(2b^2+2\left(a+c\right)^2\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)}+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3}{2}\ge\frac{8}{\left(b+a+c\right)+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a+b+c-1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+3\right)}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2}\)
Thế thôi đơn giản mà.
ể bác CooL KID nhanh nhờ
Sửa lỗi đoạn này thôi là oke nhá, hậu quả của đánh nhầm cảm ơn bác tth_new giúp em sửa
