Question

Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca =1

CM : Q=\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)      là 1 số hữu tỉ

Answer 1

Ta có : \(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)(thay từ giả thiết)

Tương tự : \(b^2+1=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);  \(c^2+1=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)

Suy ra : \(Q=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)Vì a,b,c là các số hữu tỉ nên suy ra Q là số hữu tỉ.

Answer 2

thay 1 bởi ab+bc+ca

ta có :

Q=\(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+Ca\right)\left(b^2+bc+ab+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)

ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

              \(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

           \(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

=> Q=\(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)là số hữu tỉ vì a,b,c là các số hữu tỉ