Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
C/m tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta đc
\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Ta có bđt: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1) với x , y , z dương
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Áp dụng bđt (1) ta đc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó: \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> a = b = c = 1
Vậy .............
