Question

Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho M là trung điểm của BE. Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho N là trung điểm của CF. Chứng minh rằng:

a) AE = AF = BC

b) A là trung điểm của EF.

Answer 1

a) +Xét tam giác AEN và tam giác BNC có :
AN=BN (gt)

∠ANE=∠CNB ( 2 góc đối đỉnh )
EN=NC (gt)
=> tam giác AEN= tam giác BNC ( c.g.c )
=> AE=BC (1)
+ Xét tam giác AMD và tam giác CMB có :
AM=MC (gt)

∠AMD=∠CMB ( 2 góc đối đỉnh )
MD=MB (gt)
=> tam giác AMD = tam giác CMB (c.g.c)
=> AD=BC (2)
Từ (1),(2) => AE=AD
b) Ta có : ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180
Mà ∠ABC = ∠EAB ( tam giác AEN = tam giác BCN )
∠ACB = ∠CAD ( tam giác AMD = tam giác CMB )
=> ∠CAD + ∠BAC + ∠EAB = 180
=> E,A,D thẳng hàng

Answer 2

nối c với e

ta thấy abce là hình bình hành 

vì có 2 dường chéo ac và be cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

suy ra ae song song và bằng bc (1)

nối b với e

ta thấy acbf là hình bình hành 

vì có 2 dường chéo ab và ec cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

suy ra af song song và bằng bc (2)

từ (1) và (2) suy ra AE = AF = BC

                              A là trung điểm EF 

Answer 3

a) Xét  tam giác AME và tam giác BMC, ta có:

            MB=ME (gt)

            góc AME=góc BMC (2 góc đối đỉnh)

             MA=MC (gt)

=> tam giác AME= tam giác BMC (c-g-c)

=> AE=BC ( 2 cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FNA và tam giác CNB, ta có:

       NA=NB (gt)

       góc FNA=góc BNC

       NF=NC

=> tam giác FNA=tam giác CNB (c-g-c)

=> AF=BC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => AE=AF=BC

b) Ta có: tam giác FNA=tam giác CNB (ý a)

=> góc FAN=góc CBN (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AF song song vs BC (3)

Ta có: tam giác AME= tam giác BMC (ý a)

=> góc AEM= góc BCM (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AE song song vs BC (4)

Từ (3) và (4) => A,E,F thẳng hàng

Mà AE=AF => A là trung điểm của EF