Question

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. Tìm max \(P=sigma\frac{4}{\left(a+b\right)^2+20}\)

hi vọng ko đánh sai đề nx

Answer 1

Dễ thôi

Ta có:

\(ab+bc+ca+abc=4\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\) ( cái này cơ bản )

Theo AM - GM:

\(\left(a+b\right)^2+20=\left[\left(a+b\right)^2+4\right]+16\ge4\left(a+b\right)+16=4\left[\left(a+2\right)+\left(b+2\right)\right]\)

Áp dụng Cauchy Schwarz:

\(P\le\Sigma\frac{4}{4\left[\left(a+2\right)+\left(b+2\right)\right]}=\Sigma\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Answer 2

Bác Cool kid chỉ em biến đối đê :D

Bài này có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương nhưng khá xấu. (Vào TKHĐ xem ảnh)