áp dụng Cô-si ta có:
\(a^5+\frac{1}{a}+1+1\ge4\sqrt[4]{a^5.\frac{1}{a}.1.1}=4a\)
\(b^5+\frac{1}{b}+1+1\ge4\sqrt[4]{b^5.\frac{1}{b}.1.1}=4b\)
\(c^5+\frac{1}{c}+1+1\ge4\sqrt[4]{c^5.\frac{1}{c}.1.1}=4c\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+1+1+1+1+1+1\ge4a+4b+4c\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5\ge4\left(a+b+c\right)-6=4.3-6=6\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Vẫn áp dụng cô si nhưng lần này sẽ khác cách của Thành:
Áp dụng BĐT Côsi,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT\ge a^5+b^5+c^5+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT+1+1\ge a^5+b^5+c^5+1+1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
Áp dụng Côsi,ta có: \(a^5+b^5+c^5+1+1\ge5\sqrt[5]{1a^5b^5c^51}=5abc\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(VT+1+1\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(VT\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\).Ta cần chứng minh \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\Leftrightarrow5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) (3)
Thật vậy ta có: \(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{a+b+c}{3}\).Áp dụng vào,ta có:
\(abc\ge\frac{a+b+c}{3}=1\) (do a + b + c = 3).
Thay vào (3),ta có:\(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) suy ra \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\) suy ra đpcm
@tth với a Thành dài :v 1 dòng là đủ: Cosi + Cauchy
\(VT\ge2\sqrt{\frac{a^5}{a}}+2\sqrt{\frac{b^5}{b}}+2\sqrt{\frac{c^5}{c}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{2.9}{3}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt ~
Phùng Minh Quân: thế a giải thích chỗ em chỗ VT >= gì đó.Em không hiểu lắm
Mình sửa lại chỗ: "\(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{a+b+c}{3}\) đến chỗ \(abc\ge\frac{a+b+c}{3}=1\)"
thành: "\(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\).
Áp dụng vào,ta có: \(abc\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3^3}=1\) (do a + b + c = 3)"
Mình làm nhầm,đáng ra phải lập phương hai vế mà mình lại đi lập phương 1 vế
