Đề đúng là: Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)
Chứng minh \(\sqrt[2006]{a}+\sqrt[2006]{b}-\sqrt[2006]{c}=\sqrt[2006]{a+b-c}\)
Giải: Từ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{a+b-c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}=a+b-c\)
\(\Leftrightarrow\)\(2c+2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(c-\sqrt{ca}\right)+\left(\sqrt{ab}-\sqrt{bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{c}\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}-\sqrt{b}\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{c}-\sqrt{a}=0\) hoặc \(\sqrt{c}-\sqrt{b}=0\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{c}=\sqrt{a}\) hoặc \(\sqrt{c}=\sqrt{b}\)
- Nếu \(\sqrt{c}=\sqrt{a}\) thì \(\sqrt[2006]{a}+\sqrt[2006]{b}-\sqrt[2006]{c}=\sqrt[2006]{b}=\sqrt[2006]{a+b-c}\)
- Nếu \(\sqrt{c}=\sqrt{b}\) thì \(\sqrt[2006]{a}+\sqrt[2006]{b}-\sqrt[2006]{c}=\sqrt[2006]{a}=\sqrt[2006]{a+b-c}\)
chịu .chưa học ai cũng chưa học giống mình thì k cho mình .rồi mình k lại cho.thề đấy
Bài toán này sẽ được chứng minh nếu ta có vài thay đổi nhỏ.
Cho ba số \(a,b,c>0\) thỏa mãn
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)
Chứng minh: \(\sqrt[2016]{a}+\sqrt[2016]{b}-\sqrt[2016]{c}=\sqrt[2016]{a+b-c}\)
Đề sai bạn nhé, nếu điều kiện a,b,c>0 . Để mình giải cho bạn xem nhé :)
Điều kiện : a,b,c > 0 , \(a+b\ge c\)
Ta có : \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b-c}-\sqrt{c}\)
Bình phương hai vế : \(\) \(a+b+2\sqrt{ab}=a+b-c+c-2\sqrt{c}.\sqrt{a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}=-\sqrt{c}.\sqrt{a+b-c}\)
Nhận xét : Vế trái của pt luôn lớn hơn hoặc bằng 0 , vế phải luôn bé hơn hoặc bằng 0 . Do đó pt tương đương với :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{ab}=0\left(1\right)\\-\sqrt{c}.\sqrt{a+b-c}=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) suy ra a = 0 (loại) hoặc b = 0 (loại) => không có giá trị nào của a,b thỏa mãn đề bài
=> Đề sai
Ở khúc giải \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b-c}-\sqrt{c}\) không nên bình phương cả hai vế lên vì chưa đủ bằng chứng để xác nhận rằng hai vế cùng dấu. Việc này cũng dẫn đến nghiệm ngoại lai không cần thiết và bài toán bị trật đường ray thôi.
Phước Nguyễn Đề sai ... và mình cũng sai :))
Nếu: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\) thì c = 0 kết hợp với a= 0 hoặc b = 0.
Thật vậy: ta có:\(a+b+2\sqrt{a}.\sqrt{b}\ge a+b\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\). Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}>\sqrt{a+b-c}\).
Vậy\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\ge\sqrt{a+b-c}\).
Để 3 dấu bằng liên tiếp xảy ra thì c = 0, a = 0 hoặc b =0.
giả sử b =0, c = 0.
Kki đó: \(\sqrt[2016]{a}+\sqrt[2016]{b}+\sqrt[2016]{c}=\sqrt[2016]{a}+0+0=\sqrt[2016]{a}=\sqrt[2016]{a+b-c}\)..
ta có điều phải chứng minh.
Vì a, b, c > 0 nên không có giá trị nào thỏa mãn cả. vậy đề bài sai hoặc phải sửa lại.
Nếu: a + b + c = a + b − c thì c = 0 kết hợp với a= 0 hoặc b = 0. Thật vậy: ta có:a + b + 2 a . b ≥ a + b⇒ a + b ≥ a + b . Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. Ta có: a + b ≥ a + b > a + b − c . Vậy a + b + c ≥ a + b ≥ a + b ≥ a + b − c . Để 3 dấu bằng liên tiếp xảy ra thì c = 0, a = 0 hoặc b =0. giả sử b =0, c = 0. Kki đó: 2016 a + 2016 b + 2016 c = 2016 a + 0 + 0 = 2016 a = 2016 a + b − c
