Question

cho a,b là 2 số hữu tỉ dương thỏa mãn \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)  . Chứng minh rằng \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ 

Các tiền bối giúp emm với ạ :(( Em đang cần gấp, sáng mai phải nộp bài về nhà rồi ạ. Em cảm ơn!

 

Answer 1

Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)

Do a>0

=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)

<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)

Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ

=> ĐPCM

Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ