Question

​​Cho a;b \(\in\) R* thỏa mãn a + b=1

Tìm GTNN của \(M=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\)

Answer 1

Với 2 số thực x, y bất kì, ta luôn có:

\(\left(x+y\right)^2=2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

Áp dụng: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}=\sqrt{2}\)

\(M=\frac{1-b}{\sqrt{b}}+\frac{1-a}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{2}\ge\frac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}.\)