Cho AB // CD, AB = CD sao cho C, B thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AD. Gọi AC giao BD tại O.
1. Chứng minh:
a) O là trung điểm AC, BD
b) AD // BC
c) AD = BC
2. Kẻ AH ⊥ BD, AH giao CD tại E. CK ⊥ BD, CK giao AB tại F. Chứng minh:
a) AH = CK
b) AK // CH
c) O là trung điểm HK
d) O là trung điểm EF
3. Lấy M trên AD, N trên CB sao cho AM = CN. Chứng minh: O là trung điểm MN.
4. Lấy I trên BC rồi kẻ IO giao AD tại V. Chứng minh: BI = DV.
1:
a: Xét ΔOAB và ΔOCD có
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)
AB=CD
\(\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)
Do đó: ΔOAB=ΔOCD
=>OA=OC và OB=OD
=>O là trung điểm chung của AC và BD
b: Xét ΔOAD và ΔOCB có
OA=OC
\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)
OD=OB
Do đó: ΔOAD=ΔOCB
=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AD//BC
c: ΔOAD=ΔOCB
=>AD=BC
2:
a: Xét ΔAHO vuông tại H và ΔCKO vuông tại K có
OA=OC
\(\widehat{AOH}=\widehat{COK}\)
Do đó: ΔAHO=ΔCKO
=>AH=CK và OH=OK
b: Xét ΔAOK và ΔCOH có
OA=OC
\(\widehat{AOK}=\widehat{COH}\)
OK=OH
Do đó; ΔAOK=ΔCOH
=>\(\widehat{OAK}=\widehat{OCH}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AK//CH
c: OH=OK
H,O,K thẳng hàng
Do đó: O là trung điểm của HK
d: AH\(\perp\)BD
CK\(\perp\)BD
Do đó: AH//CK
=>AE//CF
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AF//CE
Do đó: AECF là hình bình hành
=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nen O là trung điểm của EF
3: Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN
4: Xét ΔOIB và ΔOVD có
\(\widehat{IBO}=\widehat{VDO}\)
OB=OD
\(\widehat{IOB}=\widehat{VOD}\)
Do đó: ΔOIB=ΔOVD
=>BI=DV
