Số số hạng của A:
\(2025-0+1=2026\) (số hạng)
Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:
\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)
\(=4+3^2.\left(1+3\right)+...+3^{2024}.\left(1+3\right)\)
\(=4.\left(1+3^2+...+3^{2024}\right)⋮4\)
Vậy \(A⋮4\)
----------------
Do 2026 chia 3 dư 1 nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng, còn dư 1 số hạng như sau:
\(A=3^0+\left(3^1+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2023}+3^{2024}+3^{2025}\right)\)
\(=1+3.\left(1+3+3^2\right)+3^4.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2023}.\left(1+3+3^2\right)\)
\(=1+3.13+3^4.13+...+3^{2023}.13\)
\(=1+13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)\)
Mà \(13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)⋮13\)
\(\Rightarrow A⋮̸13\)
------------------------
Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:
\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)
\(=4+3^2.\left(1+3\right)+3^2.\left(3^2+3^3\right)+...+3^2.\left(3^{2022}+3^{2023}\right)\)
\(=4+3^2.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)
\(=4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)
Mà \(9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)⋮9\)
\(\Rightarrow4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\) chia 9 dư 4
Vậy số dư trong phép chia A cho 9 là 4
