Vì \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1\Rightarrow a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3=0\)\(\Rightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\left(1\right).\)
Do \(a^2\ge0,b^2\ge0,c^2\ge0\Rightarrow0\le a^2,b^2,c^2\le1\Rightarrow0\le a,b,c\le1.\)\(\Rightarrow0\le1-a,1-b,1-c\le1\Rightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\left(2\right).\)
Từ (1) và (2) => đẳng thức phải xảy ra ở (2), khi:
\(\hept{\begin{cases}a^2\left(1-a\right)=b^2\left(1-b\right)=c^2\left(1-c\right)=0\\a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)Trong 3 số a, b, c có 1 số bằng 1, 2 số còn lại bằng 0.
Vậy \(S=a^2+b^{2012}+c^{2013}=1+0+0=1.\)
