Question

Cho \(a^2+b^2+c^2=3\left(a,b,c>0\right)\)

Tìm Min 

A=\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\)

Answer 1

A\(\ge\frac{3}{2}\)

a=b=c=3

Answer 2

ban oi a=b=c la sai

vi tong cac binh phuong cua chung >3

Answer 3

 a=b=c=3 la sai

Answer 4

a = b=c=1-> A = 3/2. Ta sẽ chứng minh đó là giá trị nhỏ nhất của a.

Thật vậy: \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}.\frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}}\)

\(=2\sqrt{\frac{a^4}{4}}=a^2\). Do đó \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\ge a^2-\frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}\)

Tương tự 2 bđt có lại và cộng theo vế:

\(VT\ge3-\frac{1}{4}\left(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\right)\)

\(=3-\frac{1}{8}\left(2a\sqrt{b^2+3}+2b\sqrt{c^2+3}+2c\sqrt{a^2+3}\right)\)

\(\ge3-\frac{1}{8}.\frac{4a^2+b^2+3+4b^2+c^2+3+4c^2+a^2+3}{2}\)

\(=3-\frac{1}{8}.\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{2}=\frac{3}{2}\)

Vậy...