Question

Cho a và b là các số ko âm.Chứng minh a³ + b³ \(\ge\) a²b + ab²

Answer 1

a³+b³\(\ge\)a²b+ab²

Xét hiệu:a³-a²b+b³-ab²

=a²(a-b)-b²(a-b)

=(a-b)(a²-b²)

=(a-b)(a-b)(a+b)

=(a-b)²(a+b)

(a-b)²\(\ge\)0 với mọi a;b

a+b\(\ge\)0 với mọi a;b(do a;b không âm)

=>(a-b)²(a+b)\(\ge\)0

=>a³-a²b+b³-ab²\(\ge\)0

<=>a³+b³\(\ge\)a²b+ab²(đpcm)

Answer 2

Vì a và b không âm và \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có :

\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3-a\cdot b^2-b\cdot a^2+b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a\cdot b^2+b\cdot a^2\) (đpcm)