Question

Cho số thực dương a, b, c chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)\(\ge\)8abc

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 số dương a;b;c ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) )

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\) )

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\) )

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)