Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Linh

1) Cho a, b là các số dương chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\)\(\frac{4}{a+b}\)

2) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\) + \(\frac{1}{a+c-b}\) + \(\frac{1}{b+c-a}\)\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\)

Luân Đào
13 tháng 5 2019 lúc 11:45

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si thôi:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" khi a = b

2.

Vì a,b,c là ba cạnh tam giác nên dễ thấy các mẫu số dương.

Áp dụng câu 1 ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Cộng theo vế ta được:

\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay tam giác đó đều.


Các câu hỏi tương tự
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Đức
Xem chi tiết
Minh Duy Cù
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Anh
Xem chi tiết
Hoa Hoa
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
tran gia vien
Xem chi tiết
Nhóc Bin
Xem chi tiết