Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sĩ Bí Ăn Võ

Chứng minh các bất đẳng thức :

Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :

\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b} <2

Mỹ Duyên
21 tháng 5 2017 lúc 9:09

1) Ta có: a + b + c = 0 <=> \(a+b=-c\)

=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\)

=> \(a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3\) = \(-c^3\)

=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(-c\right)\) ( Vì \(a+b=-c\))

=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) => đpcm

Mỹ Duyên
21 tháng 5 2017 lúc 9:15

2) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

=> a,b,c > 0 và a < b+c ; b < a+ c ; c < a+ b

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2a}{a+b+c}\) ( b + c > 0; a >0)

\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{b+b}{a+c+b}\) = \(\dfrac{2b}{a+b+c}\) ( a + c > 0; b > 0)

\(\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{c+c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2c}{a+b+c}\) ( a + b >0; c > 0)

=> \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\) < \(\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\) = 2

=> đpcm


Các câu hỏi tương tự
Vũ Thu Hiền
Xem chi tiết
nguyễn thanh huyền
Xem chi tiết
Cộng sản MEME
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Hoàng Vân Anh
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết
wcdccedc
Xem chi tiết
Mai Diễm My
Xem chi tiết