Question

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện:

a+b+c+ab+bc+ca = 6abc

Chứng minh: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)≥3

Answer 1

\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z+xy+xz+yz=6\)

Cần chứng minh \(P=x^2+y^2+z^2\ge3\)

Ta có các BĐT quen thuộc:

\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\)

\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)