Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đào Ngọc Bích

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=6. Chứng minh rằng:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ca}{6+c-b}\le2\)

nguyễn ngọc dinh
4 tháng 5 2019 lúc 20:02

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2a+b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2b+a}{9}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{bc}{2b+c}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2c+b}{9}\)

\(\frac{ca}{2c+a}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2a+c}{9}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ac}{6+c-b}\)

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{6}{3}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2


Các câu hỏi tương tự
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Hoa Hoa
Xem chi tiết
원회으Won Hoe Eu
Xem chi tiết
Châu Anh Minh
Xem chi tiết
Nữ Thần Mặt Trăng
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết
Phạm Gia Huy
Xem chi tiết
Nguyen THi HUong Giang
Xem chi tiết
Fan SNSD
Xem chi tiết