Question

Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a+b}{c}\) + \(\dfrac{b+c}{a}\) +\(\dfrac{c+a}{b}\)≥4(\(\dfrac{a}{b+c}\)+\(\dfrac{b}{c+a}\)+\(\dfrac{c}{a+b}\))

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\ge (1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{4c}{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{4a}{b+c}; \frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{4b}{a+c}\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$