Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hoàng trung

cho a3+b3+c3=3abc. Tính Q=\(\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
7 tháng 3 2021 lúc 22:36

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 1: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+2bc+c^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\c^2=a^2+2ab+b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2-c^2=2bc\\b^2-a^2-c^2=2ac\\c^2-a^2-b^2=2ab\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

Trường hợp 2: a=b=c

\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{a^2}{a^2-a^2-a^2}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2-b^2}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2-c^2}\)

\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{a^2}{-2a^2}+\dfrac{b^2}{-2b^2}+\dfrac{c^2}{-2c^2}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hằng
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Hà
Xem chi tiết
Linh
Xem chi tiết
Rinho Carlsen
Xem chi tiết
ha thi thuy
Xem chi tiết
Trần Thị Ngọc Trâm
Xem chi tiết
Trọng Chi Ca Vâu
Xem chi tiết