Ta có:
\(P=\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(a+1\right)}=\sqrt{a}.\sqrt{b+1}+\sqrt{b}.\sqrt{a+1}\)
Áp dụng bđt \(B.C.S\) lần lượt cho hai bộ số thực gồm \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b}\right)\) và \(\left(\sqrt{b+1};\sqrt{a+1}\right)\) , ta được:
\(P\le\sqrt{\left(a+b\right)\left[\left(a+1\right)+\left(b+1\right)\right]}\le\sqrt{2\left(2+2\right)}=2\sqrt{2}\) (do \(a+b\le2\) )
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)