Question

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a+b=4. Tìm min 

\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Minicopski, ta có:

\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}\\ \Rightarrow P\ge\sqrt{4^2+\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2}=\sqrt{16+\left(\dfrac{4}{4}\right)^2}=\sqrt{17}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)

Answer 2

Áp dụng BĐT Cô si

⇒ P≥ \(\sqrt{2\sqrt{a^2.\dfrac{1}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{b^2.\dfrac{1}{b^2}}}\)

\(=\sqrt{2}+\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)