Ta thành lập một biểu thức có dạng như sau:
\(\left(a^{2015}+b^{2015}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2014}+b^{2014}\right)ab=a^{2016}+b^{2016}\) \(\left(1\right)\)
Mà \(a^{2014}+b^{2014}=a^{2015}+b^{2015}=a^{2016}+b^{2016}\) (theo gt)
nên từ \(\left(1\right)\) suy ra \(\left(a^{2016}+b^{2016}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2016}+b^{2016}\right)ab=a^{2016}+b^{2016}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{2016}+b^{2016}\right)\left(a+b-ab\right)=a^{2016}+b^{2016}\)
\(\Leftrightarrow\) \(a+b-ab=1\) (do \(a^{2016}+b^{2016}\ne0\))
\(\Leftrightarrow\) \(\left(1-a\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}1-a=0\\b-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)
Với \(a=1\) thì ta dễ dàng suy ra \(b=1\)
Tương tự với \(b=1\)
Vậy, \(\left(x,y\right)=\left(1,1\right)\)
=>a^2016+b^2016-2(a^25015+b^2015)+a^2014+b^2014=0
a^2014(a^2-2a+1)+b^2014(b^2-2b+1)=0
a^2014(a-1)^2+b^2014(b-1)^2=0
=>a-1=0 và b-1=0
=>a=b=1
a^2017+b^2017=1+1=2
Ta có \(a^{2016}+b^{2016}+a^{2014}+b^{2014}-2\left(a^{2015}+b^{2015}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{2016}-2a^{2015}+a^{2014}\right)+\left(b^{2016}-2b^{2015}+b^{2014}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{1008}-a^{1007}\right)^2+\left(b^{1008}-b^{1007}\right)^2=0\)
Với mọi a, b dương ta có \(\left(a^{1008}-a^{1007}\right)^2\ge0\)và \(\left(b^{1008}-b^{1007}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^{1008}-a^{1007}\right)^2+\left(b^{1008}-b^{1007}\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^{1008}-a^{1007}=b^{1008}-b^{1007}=0\)
\(\Leftrightarrow a^{1007}\left(a-1\right)=0\)và \(\Leftrightarrow b^{1007}\left(b-1\right)=0\)
Mà a, b dương do đó \(a-1=0\)và \(b-1=0\)\(\Rightarrow a=1\)và \(b=1.\)
Vậy \(a^{2017}+b^{2017}=1+1=2.\)
có 2 trường hợp a và b= 0 => a^2017+b^2017=0+0=0
trường hợp 2 là: a và b =1 => 1+1=2
