Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thành Huy

cho a, b, c>0 và a+b+c=6

Tìm GTNN của P=1/căn(a+b)(b+c)+1/căn(b+c)(c+a)+1/căn(c+a)(a+b)

zZz Cool Kid_new zZz
24 tháng 7 2020 lúc 22:20

Áp dụng BĐT AM - GM dạng ngược ta dễ có:

\(\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\ge\frac{2}{a+b+b+c}=\frac{2}{\left(a+2b+c\right)}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{2}{\left(b+2c+a\right)}\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\ge\frac{2}{2\left(c+2a+b\right)}\)

Khi đó:

\(P\ge2\left(\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\right)\)

\(\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=2

Khách vãng lai đã xóa
tth_new
3 tháng 8 2020 lúc 19:25

Gáy cach nua.

Chứng minh: \(\Sigma\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Theo Holder, cần c.m

\(\frac{3^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{81}{4\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Done

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nguyễn công huy
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Khang
Xem chi tiết
Nguyễn Ly Na
Xem chi tiết
đoàn thiên bình
Xem chi tiết
đỗ thị tú uyên
Xem chi tiết
đỗ thị tú uyên
Xem chi tiết
Hà Nguyễn
Xem chi tiết
nguyen van an
Xem chi tiết
Nguyễn Tiến Anh
Xem chi tiết