Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tony Nguyễn

Cho a; b; c thỏa mãn a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/c = 1. Chứng minh S = a2009 + b2009 + c2009 = 1

Trần Thị Loan
11 tháng 7 2015 lúc 22:03

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)=> \(\frac{bc+ac+ab}{abc}=1\) => bc + ac + ab - abc = 0

<=> c.(a + b) + ab.(1 - c) = 0 

<=> c.(a + b) + ab. (a + b) = 0 <=> (a + b).(c + ab) = 0

<=> (a+ b).(1 - a - b + ab) = 0 <=> (a + b).[(1- b) - a.(1 - b)] = 0 <=> (a + b). (1 - a).(1 - b) = 0 

<=> a + b = hoặc 1 - a = 0 hoặc 1 - b = 0

+) a + b = 0 => a = - b và c = 1 => S = a2009 + b2009 + c2009 = (-b)2009 + b2009 + 12009 = 1

+) a = 1 => b + c = 0 => b = - c . tương tự => S = 1

+) b = 1. tương tự => S = 1

Vậy S = 1

Mr Lazy
11 tháng 7 2015 lúc 22:07

\(a+b+c=1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b\right).c^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+bc+ca+c^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\text{ hoặc }b+c=0\text{ hoặc }c+a=0\)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử b + c = 0.\(b+c=0\Leftrightarrow b=-c\Rightarrow b^{2009}+c^{2009}=\left(-c\right)^{2009}+c^{2009}=-c^{2009}+c^{2009}=0\)

\(1=a+b+c=a+0=a\)

\(\Rightarrow a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1^{2009}+0=1\text{ (đpcm)}\)


Các câu hỏi tương tự
Thư Anh Nguyễn
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Nguyệt
Xem chi tiết
Trần Bình Nguyên
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hiền
Xem chi tiết
Vũ Minh Hằng
Xem chi tiết
Phạm Kim Bách
Xem chi tiết
vũ phúc
Xem chi tiết
Lê Thị Dung
Xem chi tiết