a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)
Chứng minh tương tự: b < 1; c < 1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a>0\\1-b>0\\1-c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow abc< -1+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< -2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)
ミ★长 - ƔξŦ★彡 mất công vl ra:(
Ta chứng minh: \(a^2+b^2+c^2< \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ca\right)-a^2+\left(bc+ab\right)-b^2+\left(ca+bc\right)-c^2>0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c-a\right)+b\left(c+a-b\right)+c\left(a+b-c\right)>0\)(đúng theo bđt tam giác)
Do đó \(a^2+b^2+c^2< \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=2^{\left(đpcm\right)}\)
Mình thấy hơi lạ ấy? Sao sửa đề được nhỉ? Nếu thế thì bạn kiệt cũng đúng:D
\(\hept{\begin{cases}a^2< a\left(b+c\right)\\b^2< b\left(a+c\right)\\c^2< c\left(a+b\right)\end{cases}}\left(tgbdt\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2=4\)
Kiệt làm dài qua
Người ta đã bảo sử đề rồi, mấy ông chứng minh cái j vậy
