Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si): \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{1}{a\left(b+c\right).b\left(c+a\right).c\left(a+b\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+ca\right)\left(bc+ab\right)\left(ca+bc\right)}}\)
\(\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
P/s: Check giúp em xem có ngược dấu không:v
Cach khac
Dat \(\left(ab;bc;ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2\ge3\\xyz\le1\end{cases}}\)
Ta co:
\(A=\frac{1}{ab+b^2}+\frac{1}{bc+c^2}+\frac{1}{ca+a^2}\)
\(=\frac{1}{x+\frac{xy}{z}}+\frac{1}{y+\frac{yz}{x}}+\frac{1}{z+\frac{zx}{y}}\ge\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
MaiLink bạn hãy chứng minh: \(xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le3\) xem thế nào? Nếu như ko c/m được thì bài này ngược dấu.
Ta co:
\(xyz\le1\Rightarrow3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\)
Ta lai co:
\(x^2+y^2+z^2\ge3\Rightarrow\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\le3\Rightarrow3+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\le3+3=6\)
\(\Rightarrow\frac{9}{3+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Chưa đúng nha:
\(\frac{9}{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\le\frac{9}{3+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}}\) do đó nếu \(\frac{9}{3+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}}\ge\frac{3}{2}\) không thể khẳng định điều gì cả.
