Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 1/a + 1/b + 1/c <= 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = 1/(2a+b+c) + 1/(2b+c+a) + 1/(2c+a+b)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow12\left(a+b+c\right)\ge9\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta có :

\(P=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+c+a}+\dfrac{1}{2c+a+b}\le\dfrac{3}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{\dfrac{3}{4}}=4\left(a+b+c\ge\dfrac{3}{4}\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(P\left(max\right)=4\left(a=b=c=\dfrac{1}{4}\right)\)