Ôi zời:(
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
Mặt khác ta có đẳng thức: \(a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (khai triển cái vế phải ra sẽ thấy nó bằng nhau).
Do đó \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)(đpcm)
Đúng ko ta?:3
bài này max ping phải là \(\ge\frac{a+b+c}{3}\) chứ nhỉ :)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)-\left(a-b\right)^2}\ge\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)
\(=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{2ab}\right)=\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)\)
tương tự cộng lại ta có: \(\frac{2}{3}\left(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
@Diệu Linh: Bài này a/chị làm sai rồi nha:)
